1. 1. 毕业设计（论文）的内容、要求、设计方案、规划等
现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。如数值天气预报、航天、和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂自然现象，使其求解极为困难；很多情况下，也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。
目前常用的数值方法有有限差分法和有限元法以及有限体积方法。这三种方法里有限差分方法是基础，利用差商代导数的思想简单易懂，并且应用也最广。但是用差分方法求解偏微分方程初值问题时需要注意：差分解是否收敛到微分方程的真解；差分格式是否稳定。第一个问题是由于用差分格式代替微分方程时的截断误差引起的，第二个问题则是由于解差分格式本身的数值误差（例如舍入误差）引起的。关于收敛性与稳定性之间的关系，Lax已经给出了等价定理：在差分格式满足相容性的前提下，稳定性和收敛性是等价的。因此分析差分格式的性态，关键是稳定性的分析。本文将分别比较矩阵方法和Fourier方法在验证差分格式的优缺点，通过数值算例体会稳定性的重要，并深刻领会这两种稳定性判断方法的数学内涵。
论文内容和要求: 首先，给出Lax等价定理的证明，分析差分格式求解微分方程的过程；其次，比较矩阵方法和Fourier方法在验证差分格式的优缺点；然后，通过数值算例验证稳定性的条件；最后，分析这两种稳定性判断方法之间的关系。2. 参考文献（不低于12篇）
[1] 孙志忠，偏微分方程数值解法，科学出版社，2005
[2] 戴嘉尊，邱建贤，偏微分方程数值解法，东南大学出版社，2004
[3] 李立康，於崇华，朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，1999
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