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摘 要

最值问题在中学数学中具有重要作用和地位.本文将结合高考中的题目，对多元变量背景下最值问题的几种解决方法进行分析、归纳和总结.

关键词：高考,多元变量,最值.

Abstract: The most value problem plays an important role and status in the middle school mathematics. In this article,we combined the college entrance examination of the topic and analyzed ,summaried several solution methods to the most value problem under the background of multiple variables .

Key Words: the university entrance exam ,multiple variables ,the most value.

目 录

1 引言……………………………………………………………4

2 函数最值问题…………………………………………………4

3 三角最值问题…………………………………………………8

4 向量及其它最值问题……………………………………………10

结论…………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………14

1 引言

最值问题是人们在生产和日常生活中最常见的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是科学研究领域我们都会遇到一些“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最小”等问题，这些问题一般都化为最值问题来进行求解.此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也是学生逐步形成了应用数学的意识.在近几年的高考中，最值问题是高考中的一个重点，考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重考查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度.因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好的掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目的信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效，文章从中学数学中函数、三角、不等式、数列、向量等方面进行分析最值问题，并寻找在多元变量的背景下解决最值问题的方法，从而在高考题目中进行一些应用.

定义^[1] 一般地，设的定义域为.如果存在，使得对于任意的，都有（）；那么称为的最大值（最小值），记为

（）

定理^[2] 柯西不等式 设，均为实数，则有

,

等号当且仅当（为常数，）时取得.

2 函数最值问题

函数最值问题是中学数学的一个重要内容，也是高考中必不可少的一部分.解决最值问题要求学生扎实的数学基础，还有较强的逻辑能力，能够进行独立思考，分析解决问题.最值问题因为变量多，结构复杂，所以需要根据具体题目选择合适的方法，本段将结合高考中的例题，用消元法、换元法、线性规划等方法对最值问题进行分析与探讨.

例1^[3] 求函数在上的最大值和最小值.

解 因为，令，化简得，解得（舍去），，所以当时，，单调增加；当时，，单调减少.

因此为函数的极大值.又因为

，，，

所以为函数在上的最小值，为函数在上的最大值.

例2 求函数在区间上的最大值和最小值.

解 因为，所以，令

，

得，.则函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增.即最大值为

，

最小值为

.

注 求导法是解决函数最值问题最简单、最直接的方法.在很多复杂问题中，直接求导能够方便找到未知数的取值范围及其数量关系.本题是函数最值问题中最常见的题型，所以求导方法能够直接求出其最值.

例3^[8] 设正数满足，则的最小值是多少？

解 由，得，则

，

当且仅当时取等号.

例4^[2] 已知，求的最值.

解 由条件知

消去，所以

，

又因为，所以，所以.

即当时，；当时，.

注 消元法通常是通过消去某个变量或者未知数从而达到解决问题的目的，当题目中有两个或者两个以上变量或者未知数时，要求同时求出它们是做不到的，如果能先消去一些变量或者未知数使其减少到一个，使数量关系单一化则有利于我们解决问题.需要特别提醒的是，消元后得到的元的取值范围往往不是任意的，而是根据题目的条件挖掘出来的.第一题是直接根据不等式关系来判别取值范围的，第二题是根据题目中未知数的关系来确定取值范围的.

例5 （2014辽宁高考）对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为多少？

解 设，则，因为

,

可变为

，

将代入上式并整理得

，

由判别式得，的最大值为，代入得.由 得，所以

，

当且仅当时等号成立.

例6^[4] 若实数满足，求的最大值和最小值.

解 设，，，，则

.

一方面，

，

当且仅当，时取等号.

另一方面，

，

当且仅当，时取等号.

综上所述的最大值为，最小值为.

注 换元法一般是把题目中比较复杂的一个或者几个未知数替换成一个简单的变量，使题目变得简单明了.换元法在解题过程中具有重要的作用，在换元时要注意变量或者未知数的取值范围，同时要确定替换之后的变量在所确定的定义域之内.最后要把还元后的结果代入原来的变量中.

例7^[5] （2012江苏高考）已知正数满足：

，，

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